3.1.3　空间向量基本定理

3.1.4　空间向量的坐标表示

学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解正交基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．

知识点一　空间向量基本定理

思考　只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底吗？

答案　不一定，只需三个向量不共面，就可作为空间向量的一组基底，不需要两两垂直．

梳理　空间向量基本定理

(1)定理内容：

①条件：三个向量e1，e2，e3不共面．

②结论：对空间中任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.

(2)基底：

定义 在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量 正交基底与单位正交基底 如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示

(3)推论：

①条件：O，A，B，C是不共面的四点．

②结论：对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得\s\up6(→(→)＝x\s\up6(→(→)＋y\s\up6(→(→)＋z\s\up6(→(→).

知识点二　空间向量的坐标表示

思考　若向量\s\up6(→(→)＝(x1，y1，z1)，则点B的坐标一定为(x1，y1，z1)吗？

答案　不一定．由向量的坐标表示知，若向量\s\up6(→(→)的起点A与原点重合，则B点的坐标为(x1，y1，z1)，若向量\s\up6(→(→)的起点A不与原点重合，则B点的坐标就不为(x1，y1，z1)．