2019-2020学年北师大版必修二 直线与圆的综合应用 教案

典例精析

题型一　直线和圆的位置关系的应用

【例1】已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4 (m∈R).

(1)求证：不论m为何值，直线l恒过定点；

(2)判断直线l与圆C的位置关系；

(3)求直线l被圆截得的弦长最短时的弦长及此时直线的方程.

【解析】(1)证明：直线方程可写作x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，

由方程组可得

所以不论m取何值，直线l恒过定点(3,1).

(2)由＝＜5，

故点(3,1)在圆内，即不论m取何值，直线l总与圆C相交.

(3)由平面几何知识可知，当直线与过点M(3,1)的直径垂直时，弦|AB|最短.

|AB|＝2＝2＝4，

此时 k＝－，即－＝－＝2，

解得m＝－，代入原直线方程，得l的方程为2x－y－5＝0.

【点拨】解决弦长问题时，可利用弦长的几何意义求解.

【变式训练1】若函数f(x)＝－eax的图象在x＝0处的切线l与圆C：x2＋y2＝1相离，则P(a，b)与圆C的位置关系是(　　)

A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不能确定

【解析】选B.f(x)＝－eax⇒f′(x)＝－eax⇒f′(0)＝－.

又f(0)＝－，所以切线l的方程为y＋＝－(x－0)，即ax＋by＋1＝0，

由l与圆C：x2＋y2＝1相离得＞1⇒＜1，即点P(a，b)在圆内，故选B.

题型二　和圆有关的对称问题

【例2】设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0.

(1)求m的值；

(2)求直线PQ的方程.

【解析】(1)曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，是圆心为(－1,3)，半径为3的圆.

因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，

所以圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.

(2)因为直线PQ与直线y＝x＋4垂直，所以设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

则直线PQ的方程为y＝－x＋b.将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2