典例精析

题型一　直线与圆锥曲线交点问题

【例1】若曲线y2＝ax与直线y＝(a＋1)x－1恰有一个公共点，求实数a的值.

【解析】联立方程组

(1)当a＝0时，方程组恰有一组解为

(2)当a≠0时，消去x得y2－y－1＝0，

①若＝0，即a＝－1，方程变为一元一次方程－y－1＝0，

方程组恰有一组解

②若≠0，即a≠－1，令Δ＝0，即1＋＝0，解得a＝－，这时直线与曲线相切，只有一个公共点.

综上所述，a＝0或a＝－1或a＝－.

【点拨】本题设计了一个思维"陷阱"，即审题中误认为a≠0，解答过程中的失误就是不讨论二次项系数＝0，即a＝－1的可能性，从而漏掉两解.本题用代数方法解完后，应从几何上验证一下：①当a＝0时，曲线y2＝ax，即直线y＝0，此时与已知直线y＝x－1 恰有交点(1,0)；②当a＝－1时，直线y＝－1与抛物线的对称轴平行，恰有一个交点(代数特征是消元后得到的一元二次方程中二次项系数为零)；③当a＝－时直线与抛物线相切.

【变式训练1】若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有且只有一个公共点，则实数k的取值范围为(　　)

A.{1，－1，，－} B.(－∞，－]∪[，＋∞)

C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－1)∪[，＋∞)

【解析】由⇒(1－k2)x2－2kx－5＝0，

⇒k＝±，结合直线过定点(0，－1)，且渐近线斜率为±1，可知答案为A.

题型二　直线与圆锥曲线的相交弦问题