第一章 导数及其应用 章末复习课 学案

题型一　导数与曲线的切线

利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求"在某点处的切线方程"，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求"过某点的切线方程"，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型．

例1　已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值．

解　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－1＝－(x－1)，

即x＋y－2＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；

②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，

从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为

f(a)＝a－aln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．

跟踪训练1　已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若l与圆C：x2＋y2＝相切，求a的值．

解　依题意有：f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，

∴l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0，

∵l与圆相切，∴＝⇒a＝，