趣谈反证法

一、"道旁苦李"的故事

　　我们不妨先看一个故事：王戎小时候，和小朋友在路上玩耍。一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，并说李子是苦的。等到朋友们摘了李子一尝，果然是苦的！他们都问王戎："你怎么知道李子是苦的呢？"王戎说："假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的。"这就是"道旁苦李"的故事。实质上王戎的论述，正是运用了反证法，我们不妨把这则故事改编成象几何题目中的"已知、求证、证明"再和反证法的步骤进行对比，大家就明白了。

　　已知：道旁树上有李，求证：道旁树上的李为苦李

　　证明：假设道旁树上的李不苦，则早被路人摘光，这与"路边的一棵树上结满了李子"的事实相矛盾，由矛盾判定假设不正确，从而肯定"道旁树上的李为苦李"的结论正确

二、知识要点

　　1、反证法定义：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面（非A）是错误的，从而断定A是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法象这种"为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法"，就叫做"反证法".

　　2、反证法的步骤：

　　(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立

　　(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾

　　(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

　　3、注意：可能出现矛盾四种情况：

　　①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论

4、需要说明的三点是：一是反证法适用于证明一些用直接证法比较困难的命题；二是使用时，第一步是"假设命题的结论不成立"，亦可理解成假命题结论的反面成立。但此时，要考虑结论的反面可能出现的情况。如果结论的反面只有一种情况，那么只须否定这种情况就足以证明原结论是正确的；如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能情况全部列举出来，并且一一加以否定后，才能肯定原结论是正确的；三是步骤第二步"从这个假