3.2.1 几类不同增长的函数模型

　　（一）教学目标

　　1．知识与技能

　　利用函数增长的快慢一般规律，借助函数模型，研究解决实际问题，培养数学的应用意识.

　　2．进程与方法

　　在实例分析、解决的过程中，体会函数增长快慢的实际意义，从而提高学生应用数学解决实际问题的能力.

　　3．情感、态度与价值观

　　在实际问题求解的过程中，享受数学为人们的生产和生活服务的乐趣，激发学生学习数学知识的兴趣.

　　（二）教学重点与难点

　　重点：应用数学理论解决实际问题的兴趣培养和能力提升

　　难点：函数建模及应用函数探求问题的能力培养.

　　（三）教学方法

　　尝试指导与合作交流相结合，学生自主学习和老师引导相结合.解决实际问题范例，培养学生利用函数增长快慢的数学知识对实际问题进行探究和决策.

　　（四）教学过程

教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 回顾复习

引入深题 ①增函数的增长快慢比较方法：利用列表与图象，借助二分法求根，探究快慢相应区间获得一般结论. 师：幂函数、指数函数、对数函数的增长快慢一般性规律.

生：回顾总结，口述回答. 以旧引新导入课题 实例分析 例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.

请问，你会选择哪种投资方案？

例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y = 0.25x，y = log7x + 1，y = 1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？ 师生合作探究解答过程

例1 解答：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y = 40 (x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y = 10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y = 0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.

三种方案所得回报的增长情况

x/天 方案一 y/元 增加量/元 1 40 2 40 0 3 40 0 4 40 0 5 40 0 6 40 0 7 40 0 8 40 0 9 40 0 10 40 0 ... ... ... 30 40 0 x/天 方案二 y/元 增加量/元 1 10 2 20 10 3 30 10 4 40 10 5 50 10 6 60 10 7 70 10 8 80 10 9 90 10 10 100 10 ... ... ... 30 300 10 x/天 方案三 y/元 增加量/元 1 0.4 2 0.8 0.4 3 1.6 0.8 4 3.2 1.6 5 6.4 3.2 6 12.8 6.4 7 25.6 12.8 8 51.2 25.6 9 102.4 51.2 10 204.8 102.4 ... ... ... 30 214748364.8 107374182.4 再作三个函数的图象

在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.

例2 解答：作出函数y=5，y=0.25x，y=log7x +1，y=1.002x的图象.

观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.

对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；

对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上递增，而且当x=1000时，y=log71000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有

成立.

令f(x)=log7x+1- 0.25x，x∈[10,1000] 将实际问题转化为数学问题，利用图象、表格及恰当的推理，应用不同函数的增长快慢解决实际应用问题.