§3　数学归纳法与贝努利不等式

　　3．1　数学归纳法

　　1.了解数学归纳法的原理及其使用范围，掌握数学归纳法证明的步骤.

　　2.能够利用数学归纳法证明一些简单问题.

　　数学归纳法

　　数学归纳法原理是设有一个关于正整数n的命题，若当n取第1个值n0时，该命题成立，又在假设当n取第k个值时该命题成立后可以推出n取第k＋1个值时该命题成立，则该命题对一切自然数n≥n0都成立．

　　数学归纳法证明的步骤

　　(1)验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．

　　(2)假设当n＝k时(k∈N，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．

　　在完成了上述两个步骤之后，就可以判定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．

　　数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想，第一步是递推的基础，确定了n＝n0时命题成立，n＝n0成为后面递推的出发点．第二步是递推的依据，两个步骤缺一不可，否则就会导致错误．

　　只完成第一步而缺少第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判定命题对n0＋1，n0＋2，...是否正确．

　　证明第二步，就获得递推的依据，第二步中，在推证之前，命题对n＝k是否成立是不清楚的，因此用"假设"两字，这一步的实质是证明命题对n＝k的正确性可以传递到n＝k＋1的情况，因此证明中，恰当运用归纳假设是关键，完成一、二两步后，要对n≥n0(n∈N＋)时，命题成立做出总结．

　　1．数学归纳法中，n取第一个值n0是否一定是1?

　　提示：n0不一定是1，指适合命题的第一个正整数．

　　2．如何理解归纳假设在证明中的作用？

提示：归纳假设在证明中起一个桥梁的作用，联结第一个值n0和后续的n值所对应的情形．在归纳递推的证明中，必须以归纳假设为基础进行证明．否则，就不是数学归纳法．