2019-2020学年人教B版选修1-1 导数的应用 (二) 学案
典例精析
题型一 利用导数证明不等式
【例1】已知函数f(x)=x2+ln x.
(1)求函数f(x)在区间[1,e]上的值域;
(2)求证:x>1时,f(x)<x3.
【解析】(1)由已知f′(x)=x+,
当x∈[1,e]时,f′(x)>0,因此f(x)在 [1,e]上为增函数.
故f(x)max=f(e)=+1,f(x)min=f(1)=,
因而f(x)在区间[1,e]上的值域为[,+1].
(2)证明:令F(x)=f(x)-x3=-x3+x2+ln x,则F′(x)=x+-2x2=,
因为x>1,所以F′(x)<0,
故F(x)在(1,+∞)上为减函数.
又F(1)=-<0,
故x>1时,F(x)<0恒成立,
即f(x)<x3.
【点拨】有关"超越性不等式"的证明,构造函数,应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.
【变式训练1】已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时( )
A.f′(x)>0,g′(x)>0 B.f′(x)>0,g′(x)<0
C.f′(x)<0,g′(x)>0 D.f′(x)<0,g′(x)<0
【解析】选B.
题型二 优化问题
【例2】 (2012湖南模拟)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
【解析】(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,
即n=-1.
所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+)x