1.3.2 函数的单调性和奇偶性

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学习要求：

1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。

2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。

3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。

【精典范例】

一、利用函数单调性求函数最值

例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －.

(1)判断并证明f(x)在R上的单调性；

(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。

思维分析：抽象函数的性质要紧扣定义，并同时注意特殊值的应用。

解：(1)令x=y=0，f(0)=0，令x=－y可得：

f(－x)= －f(x)，在R上任取x1

则x2－x1>0，

所以f(x2) －f(x1)=f(x2)+f(－x1)=f(x2－x1).

因为x10。

又因为x>0时f(x)<0，

所以f(x2－x1)<0，即f(x2)

由定义可知f(x)在R上是减函数.

(2)因为f(x)在R上是减函数，

所以f(x)在[－3,3]上也是减函数.

所以f(－3)最大，f(3)最小。

所以f(－3)= －f(3)=2

即f(x)在[－3，3]上最大值为2，最小值为－2。

二、复合函数单调性

例2、求函数y=的单调区间，并对其中一种情况证明。