直线与圆锥曲线的位置关系 教案

　　　中点弦问题|

　　弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：

　　1．由中点弦确定直线方程．

　　2．由中点弦确定曲线方程．

　　3．由中点弦解决对称问题．

　　探究一　由中点弦确定直线方程

　　1．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________________．

　　解析：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

　　则＋＝1，且＋＝1，

　　两式相减得＝－.

　　又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，

　　所以＝－，故直线l的方程为

　　y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.

　　答案：x＋2y－8＝0

　　探究二　由中点弦确定曲线方程

　　2．过点M(2，－2p)作抛物线x2＝2py(p>0)的两条切线，切点分别为A，B，若线段AB的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．

解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意得，y′＝，切线MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又点M(2，－2p)位于直线MA上，于是有－2p＝×2－，即x－4x1－4p2＝0；同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的两根，则x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由线段AB的中点的纵坐标是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2.