2基本不等式

知识梳理

1.基本不等式

如果___________，那么,当且仅当___________时，等号成立.

___________称为a,b的算术平均，___________称为a,b的几何平均.

基本不等式可以表述为：

两个正数的___________不小于它们的___________.

2基本不等式的几何意义

直角三角形斜边上的___________不小于斜边上的___________.

3重要不等式

如果a,b∈___________，那么a2+b2≥2ab，当且仅当___________时，等号成立.

4重要的不等式链

（1）ab≤()2≤≤a2+b2（a,b∈R）;

（2）设0

5应用基本不等式求函数最值

已知x,y都为正数，则

（1）若x+y=s（和为定值），则当___________时，积xy取得最大值___________；

（2）若xy=p（积为定值），则当___________时，和x+y取得最小值___________.

知识导学

1.对于公式a2+b2≥2ab及定理的应用要注意：

（1）a2+b2≥2ab与成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数.有些同学易忽略这一点，例如：（-1）2+（-4）2≥2×(-1)×(-4)成立，而不成立.

(2)这两个公式都带有等号，应从两方面理解，"当且仅当......取'='号"这句话：

①当a=b时取等号，其意义是a=b;

②仅当a=b时取等号,其意义是a=b.

综合起来，其意义是：a=b是成立的充要条件.

2.利用算术平均与几何平均的定理求某些函数的最值时应注意两点：

(1)函数式中，各项必须都是正数，例如对于函数式x+，当x<0时，x+≥2不成立.因此，x+的最小值不是2.事实上,当x<0时,-x>0,>0,