§3 计算导数

自主整理

1.计算函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤如下:

(1)通过自变量在x0处的改变量Δx确定函数y=f(x)在x0处的改变量:Δy=__________.

(2)确定函数y=f(x)在x0处的平均变化率:=__________.

(3)当Δx趋于0时,得到导数:f′(x0)=__________.

2.如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为_________,f′(x)=_______,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的__________,通常也简称为__________.

前面求f′(x0)的值就是导函数f′(x)在__________点的值.

3.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度).

y=C(C是常数),y′=__________.

y=xα(α是实数),y′=__________.

y=ax(a>0,a≠1),y′=__________,

特别地(ex)′=__________.

y=logax(a>0,a≠1),y′=__________,

特别地(lnx)′=__________.

y=sinx,y′=__________.

y=cosx,y′=__________.

y=tanx,y′=__________.

y=cotx,y′=__________.

高手笔记

1.由导数定义求导数的三个步骤和推导公式是求导数的基本方法,应熟练掌握.

2.求函数在一点处的导数,一般是先求出函数的导函数,再计算这点的导函数值.

3.导数公式是从导数的定义推导出来的,要理解公式的推导思想,并且准确记忆以上公式,能够熟练地运用它们进行计算.

名师解惑

1.函数f(x)在点x0处的导数、导函数、导数三者之间有何区别与联系?

剖析:(1)函数在一点处的导数,就是该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个数值,不是变数.

(2)函数的导数,是对某一区间内任意一点x而言的,就是函数f(x)的导数f′(x).

(3)函数y=f(x)在x0处的导数,就是导函数f′(x)在点x=x0处的函数值.

2.如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系?

剖析:导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限定义的,因此求导数总是归结到求极限,这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数.

3.公式表中y′表示什么?

剖析:y′是f′(x)的另一种写法,两者都表示函数y=f(x)的导数.

4.如何理解y=C(C是常数),y′=0;y=x,y′=1.

剖析:因为y=C的图像是平行于x轴的直线,其上任一点的切线即为本身,所以切线的斜率都是0;因为y=x的图像是斜率为1的直线,其上任一点的切线即为直线本身,所以切线的斜率为1.

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