§2　导数在实际问题中的应用

2．1　实际问题中导数的意义

学习目标　1.利用实际问题加强对导数概念的理解.2.能利用导数求解有关实际问题．

知识点　实际问题中导数的意义

思考　某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W＝W(t)＝t3－4t2＋10t.

(1)t从1 s到4 s时W关于t的平均变化率是多少？

(2)上述问题的实际意义是什么？

(3)W′(1)的实际意义是什么？

答案　(1)＝＝11 (J/s)．

(2)它表示从t＝1 s到t＝4 s这段时间内，这个人平均每秒做功11 J.

(3)W′(t)＝3t2－8t＋10，

W′(1)＝5表示在t＝1 s时每秒做功5 J.

梳理　(1)功与功率：在物理学中，通常称力在单位时间内做的功为功率，它的单位是瓦特．功率是功关于时间的导数．

(2)降雨强度：在气象学中，通常把单位时间(如1时，1天等)内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降雨大小的一个重要指标．降雨强度是降雨量关于时间的导数．

(3)边际成本：在经济学中，通常把生产成本y关于产量x的函数y＝f(x)的导函数称为边际成本．边际成本f′(x0)指的是当产量为 x0时，生产成本的增加速度，也就是当产量为x0时，每增加一个单位的产量，需要增加f′(x0)个单位的成本．

(4)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度，它是位移s对时间t的导数；速度对时间的导数是加速度．

(5)线密度：单位长度的物体质量称为线密度，它是质量关于长度的导数．

1．导数解决的问题通常是变化率的问题．(　√　)

2．位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数为加速度．(　√　)

3．导数的实际意义与变量表示的实际含义有关，同一个函数表达式，其导数的实际意义因