课堂导学

三点剖析

1.平面向量数量积的概念及其运算律

【例1】 已知|a|=4，|b|=3，若：（1）a∥b；（2）a⊥b；（3）a与b的夹角为60°，分别求a·b.

思路分析：本题运用数量积的定义求数量积.已知|a|与|b|，a与b的夹角，由定义可求a·b.

解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ=0°,

a·b=|a||b|cos0°=4×3×1=12;

若a与b反向，则a与b的夹角θ=180°,

a·b=|a||b|cos180°=4×3×(-1)=-12.

(2)当a⊥b时,a与b的夹角为90°,a·b=|a|·|b|cos90°=0,

(3)当a与b的夹角θ=60°时，

a·b=|a||b|cos60°=4×3×=6.

温馨提示

利用定义计算a与b的数量积，关键是确定两向量的夹角.当a∥b时，a与b的夹角可能是0°，也可能为180°，解题时容易遗漏180°的情形.

2．平面向量数量积的应用

【例2】已知|a|=,|b|=3，a与b的夹角为45°,求使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角时，λ的取值范围.

解：设a+λb与λa+b的夹角为θ.

则cosθ=＞0,

即(a+λb)·(λa+b)＞0,

展开得，λa2+(λ2+1)a·b+λb2＞0.

∵|a|=2,|b|=3,a·b=|a||b|cos45°=3,

∴2λ+3(λ2+1)+9λ＞0,

即3λ2+11λ+3＞0.

λ＜或λ＞.

另外θ=0°时，λ=1.故λ≠1.

∴λ∈(-∞,)∪(,1)∪(1,+∞).

温馨提示

求夹角时，注意与三角函数、不等式等知识相结合，但要注意角的范围.

3.平面向量数量积的运算律同实数的运算律的比较

【例3】 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：（1）a·b；（2）（a+b）2；（3）a2-b2；（4）（2a-b）·（a+3b）.

思路分析：由于向量的数量积满足乘法对加法的分配律，因此向量的数量积运算可类似于多项式的乘法运算，如（a+b）2=（a+b）·（a+b）=（a+b）·a+（a+b）·b=a·a+b·a+a·b+b·b=a2+2a·b+b2.

解：（1）a·b=|a||b|cos120°