§2.2　对数函数

2．2.1　对数与对数运算

　　1．对数的概念

　　一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

　　说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.

　　(2)"log"同"＋""×"""等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．

　　(3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：

　　①零和负数没有对数，即N>0；

　　②1的对数为零，即loga1＝0；

　　③底的对数等于1，即logaa＝1.

　　2．对数的运算法则

　　利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．

　　(1)基本公式

　　①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．

　　②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．

　　③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

　　(2)对数的运算性质注意点

　　①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．

　　②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝(logaM)n.

　　3．对数换底公式

　　在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝ (b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．

　　证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，

　　得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.

　　换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．

　　由换底公式可推出下面两个常用公式：

　　(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；

(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R)