高手支招3综合探究

1.不完全归纳法与数学归纳方法的异同以及在"归纳--猜想--证明"中的组合应用

我们在研究问题时,还常常用到一般归纳法,即从特殊到一般的思维方法,举例如下:

1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,

1+2+3+4+3+2+1=16=42,...,我们由此发现并得出如下结论：

1+2+3+...+（n-1）+n+(n-1)+...+3+2+1=n2(n∈N),

这就是考察具有1+2+3+...+（n-1）+n+(n-1)+...+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论.这种思维方法(或推理方法)我们称之为不完全归纳法.

因此由不完全归纳法得到的结论未必正确,接下来的问题就是确认由归纳法得到的结论的正确性.确认的方法是什么呢？或许结论不正确,那么可寻找一反例推翻该结论;或许结论正确,那么我们需对此予以严格的证明.如何证明？

注意到1＋2＋3＋...＋(n-1)＋n＋(n-1)＋...＋3＋2＋1＝n2(n∈N),实际上是n＝1,2,3,...的无穷多个等式的概括写法,因此要证明上述等式,就需要对n＝1,2,3,...的无穷多个等式逐一证明.事实上,这是做不到的.

而数学归纳法不需要全部验证.他只需,从首项开始即验证n=1时等式成立.然后再假设n=k时成立,证明n=k+1时成立,从而使得所有的项都适合了.显然数学归纳法是归纳法的一种,并且是一种完全归纳法.它得出的结论是正确的.它的优点是可以解决无限项的问题,但是不足是只能解决与自然数n相关的问题.

这样,不完全归纳法与完全归纳法组合起来就可以解决很多问题.我们一般先通过不完全归纳法猜想到一个命题,然后用数学归纳法证明这个问题的正确性.从而使得他们完美地结合在一起.

2.用数学归纳法证明不等式的优缺点

我们在前面学习证明不等式时,已经学习了使用反证法、分析法、比较法、综合法来证明不等式,还没接触过数学归纳法.但是在数列和函数中,有大量的关于自然数的不等式,如何证明它们呢？这就需要数学归纳法.

由于与自然数有关的不等式多是以数列和函数为载体,所以数列和函数的相关知识,如数列通项的递推公式、定义、函数的单调性等都应该及时巩固.在证明过程中,我们还会用到作差比较法、等价转化、分析法、反证法、放缩法等作为辅助手段,所以这些方法和技巧我们要熟悉.

数学归纳法证明不等式有它的局限性,它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时,各自都有自己的具体要求,比如数学归纳法就有严格的两个步骤,反证法就有严格的格式(必须先假设结论的否命题,再推出矛盾,最后否定假设,肯定原命题),分析法也有自己的格式(综合法的逆过程),综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁,在数学归纳法的第二步中,也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.

高手支招4典例精析

【例1】用数学归纳法证明:

tanαtan2α+tan2αtan3α+...+tan(n-1)αtannα=(tannα-ntanα)cotα(n∈N+).

思路分析：按照数学归纳法的思路,我们首先验证n=1时,然后假设当n=k时命题成立,并证明当n=k+1时命题也成立.还要结合分析法来证明.

证明：(1)当n=1时,左边=0=右边,命题成立;

(2)假设n=k时,

tanαtan2α+tan2αtan3α+...+tan(k-1)αtankα=(tankα-ktanα)cotα