一二维形式的柯西不等式

　　1．二维形式的柯西不等式

　　(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

　　(2)二维形式的柯西不等式的推论：

　　(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

　　·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

　　·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

　　2．柯西不等式的向量形式

　　定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

　　[注意]　柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号"＝"的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.

　　3．二维形式的三角不等式

　　(1)定理3：＋≥(x1，y1，x2，y2∈R)．

　　当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．

　　(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有

　　＋

　　≥.

　　事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．

利用柯西不等式证明不等式