2019-2020学年北师大版必修一 函数的综合应用 教案

典例精析

题型一　抽象函数的计算或证明

【例1】已知函数 f (x)对于任何实数x，y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠0.

求证： f(x)是偶函数.

【证明】因为对于任何实数x、y都有 f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，

令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2f(0)f(0)，所以2f(0)＝2f(0)f(0)，

因为f(0)≠0，所以f(0)＝1，

令x＝0，y＝x，则f(0＋x)＋f(0－x)＝2f(0)f (x)，

所以f(x)＋f(－x)＝2f(x)，所以f(－x)＝f(x)，

故f(x)是偶函数.

【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用"赋值法"探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时，既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变，以创造条件满足定义的要求.

【变式训练1】已知函数f(x)对任意的x，y有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且f(x)的定义域为R，请判定f(x)的奇偶性.

【解析】取x＝y＝0，得f(0)＝0.

取y＝－x，得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.

题型二　函数与导数的综合应用

【例2】已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.

(1)若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为4，求实数a的值；

(2)若函数g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.

【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x－a.

(1)f′(1)＝3＋4－a＝4，所以a＝3.

(2)方法一：①当g(－1)＝－a－1＝0，即a＝－1时，g(x)＝f′(x)的零点x＝－∈(－1,1)；

②当g(1)＝7－a＝0，即a＝7时，

f′(x)的零点x＝－∉(－1,1)，不合题意；

③当g(1)g(－1)＜0时，－1＜a＜7；

当时，－≤a＜－1.综上所述，a∈[－，7).

方法二：g(x)＝f′(x)在区间(－1,1)上存在零点，等价于3x2＋4x＝a在区间(－1,1)上有解，也等价于直线y＝a与曲线y＝3x2＋4x，x∈(－1,1)有公共点，作图可得a∈[－，7).

方法三：等价于当x∈(－1,1)时，求值域：a＝3x2＋4x＝3(x＋)2－∈[－，7).

【变式训练2】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与坐标轴交于(－1,0)和(0，－1)，且