2.2.1椭圆及其标准方程
◆ 知识与技能目标
理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.
◆ 过程与方法目标
(1)预习与引入过程
当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1椭圆及其标准方程.
(2)新课讲授过程
(i)由上述探究过程容易得到椭圆的定义.
〖板书〗把平面内与两个定点,的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为时,椭圆即为点集.
(ii)椭圆标准方程的推导过程
提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.
无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理.
设参量的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、的关系有明显的几何意义.
类比:写出焦点在轴上,中心在原点的椭圆的标准方程.
(iii)例题讲解与引申
例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是,,并且经过点,求它的标准方程.
分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出.引导学生用其他方法来解.
另解:设椭圆的标准方程为,因点在椭圆上,