§3.2 立体几何中的向量方法

知识点一 用向量方法判定线面位置关系

　　　(1)设a、b分别是l1、l2的方向向量，判断l1、l2的位置关系：

　　①a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)．

　　②a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)．

　　(2)设u、v分别是平面α、β的法向量，判断α、β的位置关系：

　　①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)．

　　②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)．

　　(3)设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，判断直线l与α的位置关系．

　　①u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)．

　　②u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)．

　　解　(1)①∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，

　　∴a＝－b，∴a∥b，∴l1∥l2.

　　②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.

　　(2)①∵u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，)，

　　∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，∴α⊥β.

　　②∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－v，∴u∥v，∴α∥β.

　　(3)①∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，

　　∴u·a＝－6＋8－2＝0，∴u⊥a，∴l⊂α或l∥α.

　　②∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，

　　∴u＝－a，∴u∥a，∴l⊥α.

知识点二 利用向量方法证明平行问题

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1

　　中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

证明　方法一　如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得