2019-2020学年北师大版选修2-2 导数与函数的零点 教案

考点一　判断零点的个数

【例1】 (2019·合肥质检)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数.

解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.

∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，

∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：

x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g′(x) ＋ 0 － 0 ＋ g(x) 极大值 极小值 当0

当x>3时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)仅有1个零点.

规律方法　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图像草图，数形结合求解函数零点的个数.

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

【训练1】 已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28....

(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；