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课程目标 学习脉络 1.了解数学归纳法的原理；

2．掌握数学归纳法的步骤；

3．能够应用数学归纳法证明一些问题. 　　

　　数学归纳法

　　一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

　　思考1 在数学归纳法的第一步中，第一个值n0是否一定等于1?

　　提示：不一定，n0还可以取其他值，如证明"2n＞n2"中，n0＝5，而证明"凸n边形内角和为(n－2)·180°"中，n0＝3.

　　思考2 在数学归纳法的第二步中，所作的归纳假设是否一定要用上？

　　提示：一定要用上归纳假设．数学归纳法的实质在于递推，所以从"k"到"k＋1"的过程，必须将归纳假设作为条件来导出"n＝k＋1"时的命题．也许有时不用归纳假设也能证得结论，但这不是用数学归纳法证明问题了．

　　点拨正确理解数学归纳法注意以下几点：

　　(1)数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善．证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为"归纳奠基"；第二步解决的是延续性问题，又称"归纳递推"．

　　(2)用数学归纳法证明问题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时

　　命题成立也成假设了，命题并没有得到证明．

　　(3)证明n＝k＋1时命题也成立，要注意明确证明的目标，根据这一个目标决定对归纳假设的合理变形及应用，必要时需进行适当的拼凑．

　　(4)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．

　　(5)数学归纳法是一种演绎推理．