典题精讲

例1(全国高考卷Ⅲ，理14)已知向量=（k,12),=(4,5),=(-k,10)，且A、B、C三点共线，则k=______________.

思路解析：由于A、B、C三点共线，则∥,又=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7)，=(4,5)-(-k,10)=(4+k,-5),所以有(4-k)(-5)-(4+k)(-7)=0，解得k=-.

答案：-

绿色通道：向量共线的几何表示与坐标表示形式不同但实质一样，在解决具体问题时要注意选择使用；三点共线问题通常化归为向量共线问题来解决.

变式训练1(浙江高考卷，文4)已知向量a=（3，4），b=(sinα,cosα)，且a∥b，则tanα的值为（ ）

A. B.- C. D.-

思路解析：根据两个向量平行的坐标表示，转化为同角三角函数之间的关系.因为a∥b，且a=（3，4），b=（sinα,cosα)，所以3cosα-4sinα=0，则有3cosα=4sinα，显然cosα≠0.于是tanα==.

答案：A

变式训练2(全国高考卷Ⅱ，文1)已知向量a=（4，2），向量b=(x,3)，且a∥b，则x的值为（ ）

A.9 B.6 C.5 D.3

思路解析：由题意，得12－2x=0，解得x=6.

答案：B

例2（经典回放）若向量a=（1，1），b=（1，-1），c=（-1，2），则c等于（ ）

A.-a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b

思路解析：由于条件中只给出a、b、c的坐标，故可考虑从"数"的角度出发用a、b表示c.又a、b不共线，则一定存在实数x、y，使c=xa+yb，然后用向量坐标建立x、y的方程组.

设c=xa+yb，即（-1，2）=（x，x）+（y，-y）=（x+y，x-y）.

∴解得

答案：B

绿色通道：向量通过坐标形式可转化为数的范围内的运算，故可与代数中的方程、不等式、函数等知识产生联系.本题的解答中运用了待定系数法，渗透了方程思想.之所以能用待定系数法是因为有平面向量基本定理作保障.

变式训练1已知点A、B的坐标分别为（2，-2）、（4，3），向量p=（2k－1，7），且p∥，则k的值是（ ）