典例精析

题型一　抛物线定义的运用

【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.

(1)抛物线过点P(2，－4)；

(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.

【解析】(1)设方程为y2＝mx或x2＝ny.

将点P坐标代入得y2＝8x或x2＝－y.

(2)设A(m，－3)，所求焦点在x轴上的抛物线为y2＝2px(p≠0)，

由定义得5＝|AF|＝|m＋|，又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或±9，

所求方程为y2＝±2x或y2＝±18x.

【变式训练1】已知P是抛物线y2＝2x上的一点，另一点A(a,0) (a＞0)满足|PA|＝d，试求d的最小值.

【解析】设P(x0，y0) (x0≥0)，则y＝2x0，

所以d＝|PA|＝＝＝.

因为a＞0，x0≥0，

题型二　直线与抛物线位置讨论

【例2】(2013湖北模拟)已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.

(1)求曲线C的方程；

(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足：

－x＝1(x＞0).

化简得y2＝4x(x＞0).

(2)设过点M(m,0)(m＞0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).

Δ＝16(t2＋m)＞0，于是 ①

又＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2).

＜0⇔(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋y1y2＜0.②

又x＝，于是不等式②等价于 ·＋y1y2－(＋)＋1＜0

⇔＋y1y2－[(y1＋y2)2－2y1y2]＋1＜0.③