2019-2020学年人教A版必修二 线与圆、圆与圆的位置关系 学案

典例精析

题型一　直线与圆的位置关系的判断

【例1】已知圆的方程x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当b为何值时，

(1)直线与圆有两个公共点；

(2)直线与圆只有一个公共点.

【解析】方法一：(几何法)

设圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d，d＝＝，半径r＝.

当d＜r时，直线与圆相交，＜，－2＜b＜2，

所以当－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点.

当d＝r时，直线与圆相切， ＝，b＝±2，

所以当b＝±2时，直线与圆只有一个公共点.

方法二：(代数法)

联立两个方程得方程组

消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.

当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共点；

当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点.

【点拨】解决直线与圆的位置关系的问题时，要注意运用数形结合思想，既要运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本关系，养成勤画图的良好习惯.

【变式训练1】圆2x2＋2y2＝1与直线xsin θ＋y－1＝0(θ∈R，θ≠kπ＋，k∈Z)的位置关系是(　　)

A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定

【解析】选A.易知圆的半径r＝，设圆心到直线的距离为d，则d＝.

因为θ≠＋kπ，k∈Z.所以0≤sin2θ＜1，

所以＜d≤1，即d＞r，所以直线与圆相离.

题型二　圆与圆的位置关系的应用

【例2】如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.

【解析】到原点的距离等于1的点在单位圆O：x2＋y2＝1上.当圆C与圆O有两个公共点时，符合题意，故应满足2－1＜|OC|＜2＋1，

所以1＜＜3，即＜|a|＜，