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知识·巧学

1.任意角的三角函数

(1)任意角的三角函数

由初中所学可知锐角的三角函数是通过直角三角形定义的.但角的概念推广以后，用直角三角形定义一个角的三角函数就有了一定的局限性.在上一节的学习中我们在直角坐标系中研究了任意角.同样，我们也可以在直角坐标系中定义任意角的三角函数.

联想发散 初中学习的锐角三角函数是用直角三角形边的比值来定义的，受直角三角形的约束，不能类似地定义任意角的三角函数.如果建立平面直角坐标系，就可用角的终边上点的坐标来定义任意角的三角函数，以进一步研究它的性质.

对于一个任意角α，让其顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，在α的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y).记P到原点的距离为r，则P与原点的距离r=(如图1-2-2).

图1-2-2

当α为锐角时，过P作PM⊥x轴于M，则三角形OMP为直角三角形，则由锐角三角函数的定义可得

sinα=，cosα=，tanα=.此定义与初中所学的三角函数的定义实质相同.

一般地，对任意α我们规定：

①比值叫做α的正弦,记作sinα，即sinα=；

②比值叫做α的余弦,记作cosα，即cosα=；

③比值叫做α的正切,记作tanα，即tanα=.

此外，比值叫做α的余切，记作cotα=；比值叫做α的正割，记作secα=；比值叫做α的余割，记作cscα=.由初中所学的三角形相似的知识可知对于确定的角α,比值和都是唯一确定的，因此正弦和余弦都是角α的函数.当α=+kπ,k∈Z时，角α的终边与和-的终边相同,都落在y轴上，此时P点的横坐标x为0，比值无意义，即此时tanα无意义，除此之外，对于确定的角α(α≠+kπ,k∈Z),比值也是唯一确定的，所以正切也是角α的函数.