第2课时　导数与方程

题型一　求函数零点个数

例1　设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，

当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数．

解　令F(x)＝f(x)－g(x)

＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x>0，

问题等价于求函数F(x)的零点个数．

F′(x)＝－，

当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，

注意到F(1)＝>0，F(4)＝－ln4<0，

所以F(x)有唯一零点．

当m>1时，若0m，则F′(x)<0；

若10，

所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，

注意到F(1)＝m＋>0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)<0，

所以F(x)有唯一零点．

综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．

思维升华 (1)可以通过构造函数，将两曲线的交点问题转化为函数零点问题．

(2)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数的大致图象判断方程根的情况．

跟踪训练1　设函数f(x)＝－，g(x)＝－－＋m，试讨论函数f(x)与g(x)在(0，＋∞)上的交点个数．

解　令h(x)＝f(x)－g(x)

＝－＋＋－m(x>0)，

则h′(x)＝－＋＝－.

易知h′(1)＝0，