高手支招3综合探究

1.复合函数的定积分的求法.

(1)"凑型"法

有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行适当变形后再求解.

(2)"变量代换"法

过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其中体现出来的数学思想就是等价转化思想.

在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于"把不可直接运用积分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题".

2.分段函数的定积分的求法.

学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和.分段的标准是使每一段上的函数表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细.

3.任意曲边形面积的计算方法.

几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种？计算公式是什么？

(1)x型区域(如图所示):

①由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≥0)与直线x=a,x=b(a

成的曲边梯形的面积:S=f(x)dx(如图a);

②由一条曲线y=f(x)(其中f(x)≤0)与直线x=a,x=b(a

成的曲边梯形的面积:S=|f(x)dx|=-f(x)dx(如图b);

③由两条曲线y=f(x),y=g(x)(其中f(x)≥g(x))与直线x=a,x=b(a

所围成的曲边梯形的面积:S|f(x)-g(x)|dx(如图c);

图a 图b 图c

(2)y型区域(如图所示):

①由一条曲线y=f(x)(其中x≥0)与直线y=a,y=b(a

②由一条曲线y=f(x)(其中x≤0)与直线y=a,y=b(a