圆与圆的位置关系

学习目标　1.理解圆与圆的位置关系的种类；2.掌握圆与圆的位置关系的代数判定方法与几何判定方法，能够利用上述方法判定两圆的位置关系；3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性．

知识点　两圆位置关系的判定

思考1　圆与圆的位置关系有几种？如何利用几何方法判断圆与圆的位置关系？

答案　圆与圆的位置关系有五种，分别为：外离、外切、相交、内切、内含．

几何方法判断圆与圆的位置关系：

设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为r1，r2(r1≠r2)，则

(1)当d＞r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；

(2)当d＝r1＋r2 时，圆C1与圆C2外切；

(3)当|r1－r2|＜d＜r1＋r2 时，圆C1与圆C2相交；

(4)当d＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；

(5)当d＜|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．

思考2　已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？

答案　联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含.

类型一　两圆位置关系的判定

例1　a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0

(1)外切；(2)相交；(3)外离．

解　将两圆方程写成标准方程，

C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.

∴两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.

设两圆的圆心距为d，

则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5.