2018-2019学年北师大版选修4-5 绝对值不等式 学案

　　　1.理解定理1及其几何说明，理解定理2.　2.会用定理1、定理2解决比较简单的问题．

　　,　　　　　　　　[学生用书P13])

　　1．绝对值及其几何意义

　　(1)绝对值定义：|a|＝.

　　(2)绝对值几何意义：实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点O的距离|OA|.

　　(3)数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点A，B分别对应实数a，b，则|AB|＝|a－b|．

　　2．绝对值三角不等式

　　定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．

　　推论1：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.

　　推论2：如果a，b是实数，那么|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

　　定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．

　　1．判断(正确的打"√"，错误的打"×")

　　(1)|a|的几何意义是数轴上表示数a的点到原点的距离．(　　)

　　(2)|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a＝b时等号成立．(　　)

　　(3)|a|－|b|≤|a＋b|，当且仅当a＝－b时等号成立．(　　)

　　答案：(1)√　(2)×　(3)×

　　2．给出下列命题：

　　①若a＞b，则|a|＞b；②若a＞b，则a2＞b2；③若|a|＞b，则a＞b；④若a＞|b|，则a＞b.

　　其中真命题的个数是(　　)

　　A．1　 B．2

　　C．3 D．4

　　解析：选B.容易验证①④正确，②③错误，故选B.

　　3．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值是________．

　　解析：y＝|x－4|＋|x－6|≥|(x－4)－(x－6)|＝2，

　　当且仅当4≤x≤6时，"＝"成立，

　　所以ymin＝2.

　　答案：2

　　　利用绝对值三角不等式证明不等式[学生用书P13]

　　　已知f(x)＝x2－2x＋7，且|x－m|＜3，求证：|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.

　　【证明】　|f(x)－f(m)|＝|(x－m)(x＋m－2)|

　　＝|x－m|·|x＋m－2|＜3|x＋m－2|

　　≤3(|x|＋|m|＋2)．

　　又|x－m|＜3，

　　所以－3＋m＜x＜3＋m.

　　所以3(|x|＋|m|＋2)＜3(3＋|m|＋|m|＋2)

　　＝6|m|＋15.

所以|f(x)－f(m)|＜6|m|＋15.