2019-2020学年人教A版必修二 直线与圆的位置关系 学案

典例精析

题型一　切线的判定和性质的运用

【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若＝，求的值.

【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，

所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，

又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.

(2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，

＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝，

设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x.

由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，

又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝，

所以＝.

【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F.

(1)求证：AF＝CF；

(2)若ED＝4，sin∠E＝，求CE的长.

【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝.

在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.

又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，

又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF.

所以AF＝CF.

方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，

又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.

又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝，∠A＋∠FCD＝，

所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.

所以AF＝CF.