典题精讲

例1 已知cosα-cosβ=，sinα-sinβ=-，求sin(α+β)的值.

思路分析:考查三角函数的和差化积公式的应用，以及万能公式.两个等式分别用和差化积公式后再相除，得tan的值，再用万能公式求sin(α+β)的值.

解:∵cosα-cosβ=，∴-2sinsin=.①

∵sinα-sinβ=-，∴2cossin=-.②

①÷②得-tan=-.

∴tan=.

∴sin(α+β)===.

绿色通道:如果出现系数绝对值相同的同名三角函数的和差时，常用到和差化积公式.如果出现弦函数的积时，常用到积化和差公式.

黑色陷阱:受思维定势的影响，如果由已知sin2α+cos2α=1，sin2β+cos2β=1联立方程组，分别解得sinα,cosα,sinβ,cosβ的值，那么运算量就明显加大，甚至会陷入困境.

变式训练1 已知tanα、tanβ是方程x2+3x-4=0的两个根，求的值.

思路分析:利用根与系数的关系，得到tanα+tanβ和tanαtanβ，进而得到tan(α+β).看到cos2α+cos2β，sin2α+sin2β是系数相等的同名三角函数的和，用和差化积公式变形.

解:由韦达定理得tanα+tanβ=-3，tanαtanβ=-4.

∴=

===-.

变式训练2 把cosx+cos2x+cos3x+cos4x化成积的形式.

思路分析:所给的式子是四项的和，要化为积的形式，需考虑适当分组，注意到四个角的特征，显然应将cosx和cos4x组到一起，将cos2x和cos3x组到一起，这样可以在分别化积之后产生公因式，提取公因式后再继续化积.

解:cosx+cos2x+cos3x+cos4x=(cosx+cos4x)+(cos2x+cos3x)=2coscos+2coscos=2cos(cos+cos)=4coscosxcos.