1.3.3　函数的最大(小)值与导数

[学习目标]

1．理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系．

2．会求某闭区间上函数的最值．

[知识链接]

　极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质，但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小，函数的极值与最值有怎样的关系？

答　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值，所以在开区间(a，b)上若存在最值，则必是极值．

[预习导引]

1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值

函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．

2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

3．函数在开区间(a，b)的最值

在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值．

4．极值与最值的意义

(1)最值是在区间[a，b]上的函数值相比较最大(小)的值；

(2)极值是在区间[a，b]上的某一个数值x0附近相比较最大(小)的值．

要点一　求函数在闭区间上的最值

例1　求下列各函数的最值：

(1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]；

(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．

解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x，