关于圆锥曲线的中点弦问题

　　直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：

　　（1）求中点弦所在直线方程问题；

　　（2）求弦中点的轨迹方程问题；

　　（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。

一、求中点弦所在直线方程问题

例1 过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是

　　　　，

又M为AB的中点，所以，

解得，

故所求直线方程为。

解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，

所以，，

又A、B两点在椭圆上，则，，

两式相减得，

所以，即，

故所求直线方程为。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），

则另一个交点为B(4-)，

因为A、B两点在椭圆上，所以有，

两式相减得，

由于过A、B的直线只有一条，

故所求直线方程为。

二、求弦中点的轨迹方程问题

例2 过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。