14.3　数学归纳法

典例精析

题型一　用数学归纳法证明恒等式

【例1】是否存在常数a、b、c，使等式12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋...＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，试说明理由.

【解析】 假设存在a、b、c使12＋22＋32＋...＋n2＋(n－1)2＋...＋22＋12＝an(bn2＋c)对于一切n∈N*都成立.

当n＝1时，a(b＋c)＝1；

当n＝2时，2a(4b＋c)＝6；

当n＝3时，3a(9b＋c)＝19.

解方程组解得

证明如下：

当n＝1时，显然成立；

假设n＝k(k∈N*，k≥1)时等式成立，

即12＋22＋32＋...＋k2＋ (k－1)2＋...＋22＋12＝k(2k2＋1)；

则当n＝k＋1时，

12＋22＋32＋...＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋...＋22＋12＝k(2k2＋1)＋(k＋1)2＋k2

＝k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2＝k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2

＝(k＋1)(2k2＋4k＋3)＝(k＋1)[2(k＋1)2＋1].

因此存在a＝，b＝2，c＝1，使等式对一切n∈N*都成立.

【点拨】 用数学归纳法证明与正整数n有关的恒等式时要弄清等式两边的项的构成规律：由n＝k到n＝k＋1时等式左右各如何增减，发生了怎样的变化.

【变式训练1】用数学归纳法证明：

当n∈N*时，＋＋...＋＝.

【证明】(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，

左边＝右边，所以等式成立.

(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即有＋＋...＋＝，

则当n＝k＋1时，

＋＋...＋＋＝＋