第1章 导数及其运用

1．1 导数的概念

一、学习内容、要求及建议

知识、方法 要求 建议 导数的概念 了解 借助于导数概念形成的物理背景(瞬时速度)及几何背景(曲线切线的斜率)来理解如何从平均变化率过渡到瞬时变化率，从而抽象出导数的概念． 导数的几何意义 掌握 理解导数的几何意义 二、预习指导

1．预习目标

(1)本节主要通过对大量实例的分析，理解平均变化率的实际意义和数学意义，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程；

(2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．

2．预习提纲

(1)回顾必修2中用来量化直线倾斜程度的斜率的计算公式．

(2)阅读教材，回答下列问题．

1)平均变化率:怎样计算一个函数在一个给定的闭区间上的平均变化率?

2)瞬时变化率的几何背景：曲线上一点处的切线的斜率

①关于割线的斜率：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x))，则割线PQ的斜率是多少?

②关于点P(x，f(x))处的切线：设曲线C上一点P(x，f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x＋△x，f(x＋△x)) ．用运动的观点来看，在点P处的切线可以认为是过点P处的割线PQ的当Q无限靠近点P的极限位置，那么你能计算出切线的斜率吗?说一说求曲线y=f(x)上任一点P(x0，f(x0))处的切线斜率的基本步骤．

3) 瞬时变化率的物理背景：瞬时速度与瞬时加速度

①回忆物理学中对瞬时速度与瞬时加速度所下的定义．

②给出位移－时间方程，如何求物体在时刻的瞬时速度?给出速度－位移方程，如何求物体在时刻的瞬时加速度?

4)导数：从上述几何背景和物理背景中抽象出的数学概念

①请表述出函数在某一点处的导数的概念．

②请表述出导函数的概念，并表述导函数的具体的对应法则．

③求导数的步骤是什么?

④导数的几何意义是什么?

⑤说一说利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤．

(3)阅读课本例题，思考下列问题．

第7页上例4给我们的启示：一次函数f(x)=kx＋b在区间上的平均变化率等于多少?