典题精讲

例1 计算sin33°cos27°+sin57°cos63°.

思路解析：题目中都是非特殊角，不能直接计算，可将sin57°化为cos33°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解.

解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin(33°+27°)=sin60°=.

或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos(57°-27°)=cos30°=.

绿色通道：从整体出发，对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法.

变式训练 1

(陕西高考，文13) cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________.

思路解析：cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°

=cos120°

=-.

答案：-

例2 已知α,β∈(,),tanα,tanβ是一元二次方程x2+33x+4=0的两根，求α+β.

思路解析：由根与系数关系可得tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.

解：由题意,知tanα+tanβ=,tanαtanβ=4,①∴tan(α+β)=.

又∵α,β∈(,)，且由①知α∈(,0)，β∈(,0)∴α+β∈(-π,0).∴α+β=.

黑色陷阱：本题易由α,β∈(,),得α+β∈(-π,π)，从而得出α+β=或，而忽视了隐含条件tanα<0,tanβ<0对α,β范围的限制.

变式训练 2

(湖北高考，理3) 若△ABC的内角A满足sin2A=，则sinA+cosA等于( )

A. B. C. D.

思路解析：由sin2A＝2sinAcosA>0，可知A为锐角，所以sinA+cosA>0，又(sinA+cosA)2=1+sin2A=

答案：A

例3 已知tanα=，tanβ=，0<α<β<,则α+2β等于( )