3.三个正数的算术-几何平均不等式

知识梳理

1.三个正数的算术-几何平均不等式.

如果a,b,c∈R+,那么≥_________,当且仅当_________时，等号成立.

2.n个正数a1,a2,...,an的算术-几何平均不等式.

对于n个正数a1,a2,...,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

≥_________.

当且仅当_________时，等号成立.

知识导学

三个及三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的使用条件是一样的，即"一正，二定，三相等".

n个正数a1,a2,...,an的算术平均是,几何平均是,在应用时，最容易被误写为及,这是受两个正数的均值定理的影响造成的.

应用三个正数的算术平均-几何平均不等式时还可能用到下面的重要不等式链：

疑难突破

1.三个正数或三个以上正数的均值定理的应用条件

"一正"：不论是三个数的或者n个数的均值不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的.如a+b+c≥.取a=b=-2,c=2时，a+b+c=-2.而=6.显然-2≥6不成立.

"二定"：包含两类求最值问题：一是已知n个正数的和为定值（即a1+a2+...+an为定值），求其积a1·a2...an的最大值；二是已知乘积a1·a2...an为定值，求其和a1+a2+...+an的最小值.

"三相等"：取"="号的条件是a1=a2=a3=...=an,不能只是其中一部分相等.

重要不等式a2+b2≥2ab与a3+b3+c3≥3abc的运用条件不一样，前者a,b∈R,后面a,b,c∈R+.要注意区别.

2.使用基本不等式中的变形与拼凑方法

为了使用均值定理求最值（或范围）等，往往需要对数学代数式变形或拼凑数学结构，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y=,其中把x2拆作两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形