1．3 导数在研究函数中的应用

一、学习内容、要求及建议

知识、方法 要求 学习建议 利用导数研究函数的单调性和极大(小)值 掌握 借助于导数这个工具可以很好地判别函数单调性、求单调区间，极值，最值等，通过这些量我们可以从总体上把握函数的图象的变化规律．可以通过对一些具体的函数(如常见的三次多项式函数)的研究来加以体会． 二、预习指导

1．预习目标

(1)了解函数的单调性、函数的极大(小)值、函数的最大(小)值与导数的关系．

(2)能利用导数的符号法则来解决函数的单调性问题，求函数的极值、最值等，通过这些量来研究函数的图象的变化规律．

2．预习提纲

(1)回顾必修1中有关函数单调性以及函数最值的相关内容(必修1第34页至37页)．

(2)阅读课本第28页至33页，回答下面的问题

　① 函数的单调性与导数

　 函数的单调性与导数的符合存在着怎样的关系呢?

　②函数的极值与导数：

　函数的极大值与极小值是怎样定义的?

注： 第一，极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．第二，函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．第三，极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．

　③函数的最值

　最值的概念在必修1的教材中已经给出，请回忆，并指出最值与极值的区别与联系．

(3)阅读课本例题，思考下面的问题．

①阅读课本第28页至29页上例1、例2和例3，总结求函数单调区间的步骤．

②阅读课本第31页上例1和例2，归纳求可导函数的极值的步骤．

　 思考：当时，能否函数在处取得极值?

③阅读课本第32页与第33页上例1和例2，归纳利用导数求函数的最值步骤．

3．典型例题

例1 求函数的单调区间．

　解： ．令，解得．

x (－∞，－3) －3 (－3，3) 3 (3，＋∞)