【考点聚焦突破】

考点一　中点弦及弦长问题　

角度1　中点弦问题

【例1－1】 已知椭圆＋y2＝1，

(1)过A(2，1)的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；

(2)求过点P且被P点平分的弦所在直线的方程.

【答案】见解析

【解析】(1)设弦的端点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中点是M(x，y)，则x2＋x1＝2x，y2＋y1＝2y，由于点P，Q在椭圆上，则有：

①－②得＝－＝－，

所以－＝，

化简得x2－2x＋2y2－2y＝0(包含在椭圆＋y2＝1内部的部分).

(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k＝－＝－，

因此所求直线方程是y－＝－，化简得2x＋4y－3＝0.

【规律方法】　弦及弦中点问题的解决方法

(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立、消元，利用根与系数关系表示中点；

(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.

角度2　弦长问题

【例1－2】 (2019·北京朝阳区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且＝？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.

【答案】见解析

【解析】(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)，

由题意可得

解得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3，