专题突破二　数列的单调性和最大(小)项

一、数列的单调性

(1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列)．

(2)判断单调性的方法

①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性．

②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性．

例1　已知函数f (x)＝(x≥1)，构造数列an＝f (n)(n∈N＋)．试判断数列的单调性．

解　f (x)＝＝－2＋.

方法一　∵an＝－2＋(n∈N＋)，an＋1＝－2＋，

∴an＋1－an＝－＝

＝＜0.

∴an＋1＜an.

∴数列{an}是递减数列．

方法二　设x1＞x2≥1，则

f (x1)－f (x2)＝－

＝－

＝，

∵x1＞x2≥1，∴x1＋1＞0，x2＋1＞0，x2－x1＜0，

∴f (x1)－f (x2)＜0，

即f (x1)＜f (x2)，