单元（章节）课题 北师大版选修2-1第二章空间向量与立体几何 本节课题 空间向量与立体几何复习与小结（2） 三维目标 　　1、掌握空间向量的概念、运算及其应用；

　　2、掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 提炼的课题 空间向量的概念、运算及其应用及掌握利用空间向量解决立体几何问题的方法。 教学手段运用

教学资源选择 学 K] 　　探析归纳，讲练结合 教学过程 1、用已知向量表示未知向量

例1. 如图所示，在平行六面体中，设，M、N、P分别是、BC、的中点，试用a、b、c表示以下各向量：

（1）；（2）；（3）。

分析：根据空间向量加减法及数乘运算的法则和运算律即可。

解析：（1）∵P是的中点， 学 K]

∴ 学+ + ]

（2）∵N是BC的中点，

∴

（3）∵M是的中点，

∴

又

　　∴。

　　点评：用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则，在立体几何中要灵活应用三角形法则；向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．

2、共线、共面向量问题

例2. 已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否一定与A、B、C共面？（1）；（2）

分析：先化简已知等式，观察它能否转化为四点共面的充要条件。 学 ]

解析：（1）原式变形为

∴由共面向量定理的推论知P与A、B、C共面。

（2）原式变形为

　　∴P与A、B、C三点不共面。

点评：点共面问题，可转化为向量共面问题，要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明，或对空间任一点O，有或即可，以上结论是判定空间四点共面的一个充要条件，共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的必要条件。

3、空间向量基本定理

例3. 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、 的值。

　　分析：结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、 的值。

解析：如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。

∵，，连接AC，则

　　点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

4、空间向量数量积

例4. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60°角（见下图）。求B、D间的距离。

解析：∵∠ACD=90°，∴，同理 ∵AB和CD成60°角，

∴60°或120°

∴，即B、D间的距离为2或

点评：用向量数量积的定义及性质可解决立体几何中求异面直线所成的角，求两点距离或线段长度以及证明线线垂直，线面垂直等典型问题。（1）求向量和所成的角，首先应选择合适的基底，将目标向量和用该组基底表示出来，再求其自身的数量积及长度．最后利用公式。（2）由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化，是思维中的常见障碍，在向量性质中提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题。

（二）、课堂练习：已知A、B、C三点不共线，O为平面ABC外一点。若由向量确定的点P与A、B、C共面，则 。