考点一　定值与最值及范围问题

1.(2018浙江,21,15分)如图,已知抛物线x2=y,点A,B,抛物线上的点P(x,y).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.

(1)求直线AP斜率的取值范围;

(2)求|PA|·|PQ|的最大值.

解析　(1)设直线AP的斜率为k,k==x-,

因为-

(2)解法一:联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是xQ=.

因为|PA|==(k+1),

|PQ|=(xQ-x)=-,

所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3,

令f(k)=-(k-1)(k+1)3.因为f '(k)=-(4k-2)(k+1)2,

所以f(k)在区间上单调递增,上单调递减,因此当k=时,|PA|·|PQ|取得最大值.

解法二:如图,连接BP,|AP|·|PQ|=|AP|·|PB|·cos∠BPQ=·(-)=·-.

易知P(x,x2),

则·=2x+1+2x2-=2x2+2x+,=+=x2+x++x4-x2+=x4+x2+x+.

∴|AP|·|PQ|=-x4+x2+x+.

设f(x)=-x4+x2+x+,

则f '(x)=-4x3+3x+1=-(x-1)(2x+1)2,

∴f(x)在上为增函数,在上为减函数,

∴f(x)max=f(1)=.

故|AP|·|PQ|的最大值为.

2.(2018山东,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.

(1)求椭圆E的方程;

(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.

解析　(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,

因此椭圆E的方程为+y2=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),