图形的旋转
旋转对称:一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心.
注意:①旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。
②在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。
③旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）。
基本类型：
⑴正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条
线段集中于图(1-1-b)）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为等边三角形。
⑵正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA、PB、PC
三条线段集中于图(2-1-b)中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
⑶等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中，， P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图(3-1-b)中的一个ΔP' CP为等腰直角三角形。
题型一：利用图形的旋转求线段长
例1.如图，P为等边三角形ABC内一点，∠BPC
等于150°,PC=5,PB=12，则PA的长为 .
解析:将△BPC绕C点顺时针旋转60°, 连接PP′，
∵∠PCP′=60°，CP=CP′，
∴△PCP′是等边三角形，
∵∠AP′C=∠BPC=150°，
∴∠AP′P=150°-60°=90°，
又∵PP′=PC=5，AP′=BP=12.
∴在Rt△APP′中，PA=
点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在"同一个四边形"中，
作出辅助线构造等边三角形是解本题的关键。
例2.如图，点P是正方形ABCD内一点,
AP=1，PB=,∠APB=135º，则PC的
长等于 .
解析:如图,把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′
∴AP′=PC，BP′=BP=1. 故△PBP′是等腰直角三角形.
∴,
在中，
∴
点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在"同一个四边形"中，
作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。
例3. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD
互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的
长为( )
A. B.4 C. D.
解析:在Rt△AOB中，AO2=AB2-BO2；
Rt△DOC中可得：DO2=DC2-CO2；
∴AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=18，
即可得AD=，故选A．
思考题：如图,将△ABC绕顶点A顺时针旋转
后,得到△,且为BC的中点,则
( )
A.1:2 B.1:2 C.1: D.1:3
题型二：利用图形的旋转求角的大小
例4.如图,在ΔABC中,, BC=AC,
P为ΔABC内一点,且PA=3，PB=1，PC=2,
则的度数是 .
解析: 将△BCP绕B逆时针旋转90°, 连接PP′，
∵∠PCP′=90°，CP=CP′，
∴△PCP′是等腰直角三角形，
∴∠CPP′=45°,.
又∵PA=3，PB=1，
∴，即.
∴
例5.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，
PB=2，PC=3，则∠APB=
解析:将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PE，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BEC，
∴△BEC≌△BPA，∠APB=∠BEC，
∴△BEP为等腰直角三角形,∴∠BEP=45°，
∵PB=2，∴PE=
∵PC=3，CE=PA=1，
∴PC2=PE2+CE2，即∠PEC=90°，
∴∠APB=∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°．
例6.如图,已知O是等边三角形△ABC内一点，
∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6:5:4，
在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边
所对的角的度数是 .
解析:∵∠AOB：∠BOC：∠AOC=6：5：4，
∴∠AOB=144°，∠BOC=120°，∠AOC=96°，
将△AOC绕点A顺时针旋转60°得到△AO′B，连接OO′，
∵△AO′B≌△AOC，
∴∠AO′B=∠AOC=96°，O′B=OC，AO′=AO，
∵∠OAO′=60°，AO=AO′，
∴△AOO′是等边三角形，
∴OO′=AO，
∴△BOO′即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，
∵∠AOO′=∠AO′O=60°，
∴∠BOO′=84°，∠BO′O=36°，∠O′BO=60°，
思考题:如图,在等边ΔABC中,点E、D分别为AB、
BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M, 则
( )
A. B. C. D.