8．2.7　离散型随机变量的方差

　　[读教材·填要点]

　　1．离散型随机变量X的方差与标准差

　　(1)当离散型随机变量X有概率分布，pj＝P(X＝xj)，j＝0,1，...，n和数学期望μ＝E(X)时，就称D(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋...＋(xn－μ)2pn为X的方差，称为X的标准差．

　　(2)X的方差描述了随机变量X向它的数学期望集中的程度，方差越小，X向数学期望μ集中的越好．

　　(3)如果X是从某个总体中通过随机抽样得到的个体，X的方差D(X)就是总体方差σ2，X的数学期望E(X)就是总体均值μ.

　　2．几个常见方差的计算公式

　　(1)若Y＝aX＋b，a，b为常数，即D(aX＋b)＝a2D(X)；

　　(2)当X服从二点分布(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；

　　(3)当X服从二项分布B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；

　　(4)当X服从超几何分布H(N，M，n)时，D(X)＝.

　　[小问题·大思维]

　　1．离散型随机变量的方差与样本的方差都是变量吗？

　　提示：样本的方差随样本的不同而变化，是一个随机变量，而离散型随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，因此它是一个常数而非变量．

　　2．D(X)的取值范围是什么？若b为常数，则D(b)为何值？

　　提示：①因为D(X)＝(xi－E(X))2pi，

　　其中(xi－E(X))2≥0，pi≥0，

　　所以D(X)的取值范围为[0，＋∞)．

　　②因为b为常数，所以x1＝x2＝...＝xn＝E(X)＝b，

　　故D(b)＝0.

　　3．D(X)与X的单位之间有什么关系？

　　提示：D(X)的单位是X的单位的平方．