第二章　数列

2.5　等比数列的前n项和

2.5　等比数列的前n项和(第1课时)

学习目标

　　掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前n项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.

合作学习

　　一、设计问题,创设情境

　　传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏.

　　国王问大臣:"你想得到什么样的奖赏?"这位聪明的大臣达依尔说:"陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子,并把这些麦粒赏给您的仆人吧."

　　国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.

　　计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,...,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.

　　这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?

　　每个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.即求　　　　　　　,怎么计算?

　　二、信息交流,揭示规律

　　如何求数列1,2,4,...262,263各项的和?

　　以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:

　　S64=1+2+4+8+...+262+263　①

　　用公比2乘以①的两边,得

　　2S64=2+4+8+16+...+263+264　②

　　由②-①可得:S64=264-1.

　　这种求和方法称为　　　　　　　,它是研究数列求和的一个重要方法.

　　等比数列的前n项和公式:

　　当q≠1时,Sn=(a_1 "(" 1"-" q^n ")" )/(1"-" q)　①　或Sn=(a_1 "-" a_n q)/(1"-" q)　②

　　当q=1时,Sn=na1

　　公式的推导方法一:

　　一般地,设等比数列a1,a2,a3,...,an,...它的前n项和是

　　Sn=a1+a2+a3+...+an,

由{■(S_n=a_1+a_2+a_3+"..." +a_n "," @a_n=a_1 q^(n"-" 1) "," )┤