§3　平均值不等式

　　第1课时　平均值不等式

　　1.了解两个（三个）正数的算术平均值与几何平均值.

　　2.掌握平均值不等式性质定理，能用性质定理证明简单的不等式.

　　定理1

　　对任意实数a，b，有a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取"＝"号)．

　　定理2

　　对任意两个正数a，b，有≥(当且仅当a＝b时取"＝"号)．

　　语言叙述为：两个正数的算术平均值不小于它们的几何平均值．

　　(1)如果a，b为正数，那么≥(当且仅当a＝b时，取"＝"号)．①≥是a2＋b2≥2ab的特例，但二者适用范围不同，前者要求a，b均为正数，后者只要求a，b∈R；②a，b大于0是≥的充分不必要条件；a，b为实数是a2＋b2≥2ab的充要条件．

　　(2)定理2的几何解释：如图以a＋b为直径的圆中，DC＝，因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为，根据半弦长不大于半径，得不等式≤.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．

　　因此，定理2的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．

　　定理3

　　对任意三个正数a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取"＝"号)．

　　定理4

对任意三个正数a，b，c，有≥(当且仅当a＝b＝c时取"＝"号)．