2019-2020学年北师大版选修1-1 2.3 充要条件 学案
2019-2020学年北师大版选修1-1 2.3 充要条件 学案第1页

2.3 充要条件

[学习目标] 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习,明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.

知识点一 充要条件

一般地,如果既有p⇒q,又有q⇒p 就记作_p⇔q.

此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.

概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件.

思考 (1)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗?

(2)"p是q的充要条件"与"p的充要条件是q"的区别在哪里?

答案 (1)正确.若p是q的充要条件,则p⇔q,即p等价于q,故此说法正确.

(2)①p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.

②p的充要条件是q说明q是条件,p是结论.

知识点二 常见的四种条件与命题真假的关系

如果原命题为"若p,则q",逆命题为"若q,则p",那么p与q的关系有以下四种情形:

原命题 逆命题 p与q的关系 真 真 p是q的充要条件

q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件

q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件

q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件

q是p的既不充分也不必要条件

知识点三 从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件

若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件