3.1 二维形式的柯西不等式

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　　1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．

　　2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．

　　1．二维形式的柯西不等式

　　(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．

　　(2)二维形式的柯西不等式的推论：

　　(a＋b)(c＋d)≥(＋)2(a，b，c，d为非负实数)；

　　·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；

　　·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．

　　【做一做1】已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)

　　A．2 B． C．6 D．12

　　解析：(＋)2

　　＝(1×＋1×)2

　　≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)

　　＝2[4(a＋b)＋2]

　　＝2×(4×1＋2)＝12，

　　当且仅当＝，

　　即a＝b＝时等号成立．

　　答案：D

　　2．柯西不等式的向量形式

　　设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．

　　【做一做2】设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.

　　解析：根据柯西不等式的向量形式，

　　有|a·b|≤|a|·|b|，

　　∴|a·b|≤×6＝18，

　　当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．

∴－18≤a·b≤18.