3.3导数在研究函数中的应用

　　3．3.1　单 调 性

　　已知函数y1＝x，y2＝x2，y3＝.

　　问题1：试作出上述三个函数的图象．

　　提示：图象为

　　问题2：试根据上述图象说明函数的单调性．

　　提示：函数y1＝x在R上为增函数，y2＝x2在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y3＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数．

　　问题3：判断它们导函数的正负．

　　提示：y1′＝1>0；

　　y2′＝2x，当x>0时，y2′>0，当x<0时，y2′<0；

　　y3′＝－<0.

　　问题4：由问题2、3试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．

　　提示：当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数．

　　问题5：试用y＝ex，y＝e－x说明函数的单调性与其导函数正负的关系．

　　提示：y＝ex的导函数y′＝ex>0，所以y＝ex在R上为增函数，y＝e－x的导函数y′＝′－e－x<0，所以y＝e－x在R上为减函数．

　　一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系

导数 函数的单调性 f′(x)＞0 单调递增 f′(x)＜0 单调递减 f′(x)＝0 常数函数